AERODINAMICA - SOGLIA DEL REGIME DI MOTO INCOMPRIMIBILE

Ingegneria Aerospaziale e Aeronautica

· SOGLIA DEL REGIME DI MOTO INCOMPRIMIBILE

· INTRODUZIONE

· Equazioni del moto

· Comprimibilità vs. Incomprimibilità

· BIBLIOGRAFIA

INTRODUZIONE

I fluidi presenti in natura sono tutti viscosi e comprimibili. Le equazioni che regolano le condizioni dinamiche dei fluidi viscosi e comprimibili risultano, purtroppo, di difficile applicazione e manipolazione al fine di risolvere problemi di interesse ingegneristico in quanto le equazioni di conservazione della massa, della quantità di moto e dell’energia sono più complesse di quanto appaiono: sono non lineari, accoppiate e difficili da risolvere, è difficile, inoltre, provare con i metodi matematici esistenti l’esistenza di una soluzione unica per particolari condizioni al contorno.

Solo in particolari casi – flussi completamente sviluppati in geometrie semplici – è possibile ottenere una soluzione analitica delle equazioni di Navier – Stokes e questi flussi sono importanti per lo studio dei fondamenti della fluidodinamica ma sono del tutto irrilevanti dal punto di vista pratico.

In determinate condizioni di flusso, però, è possibile semplificare le equazioni in quanto alcuni termini in esse presenti sono poco importanti o trascurabili rispetto ad altri e, nonostante ciò, è possibile che perfino le equazioni semplificate risulti anch’esse molto complesse e non ammettano soluzione analitica ed è quindi necessario introdurre metodi numerici.

In questa breve trattazione si vuole descrivere un criterio per trascurare la comprimibilità del fluido in determinate condizioni di moto.

Equazioni del moto

Come è noto le equazioni che regolano lo stato di dinamico di un fluido (in condizioni di viscosità indipendente dalla temperatura, modello termodinamico: gas perfetto, modello reologico: fluido newtoniano non micropolare; tipicamente acqua e aria) sono:

A partire dall’equazione della quantità di moto scritta in forma di Lagrange nell’ipotesi di fluido non viscoso si ottiene:

si arriva, quindi, alla seguente espressione (considerando il moto stazionario, St>>1, e trascurando le forze di massa):

se il moto è irrotazionale (Ñxu=0) si ottiene:

che è equivalente a:

l’integrale in cui compare il termine barico può essere calcolato solo a partire da ipotesi ben precise sulla relazione fra pressione e densità. Nell’ ipotesi di fluido incomprimibile si ottiene:

che è la celebre espressione del Teorema di Bernuolli. Se, invece, si considera il fluido comprimile allora la pressione e la densità del fluido saranno legate dalla relazione:

purchè il moto sia omoentropico (entropia della corrente imperturbata uniforme, assenza di scambi termici, dissipazioni viscose e, ovviamente, di onde d’urto). Se la si differenzia si ottiene:

cioè:

la relazione sopra integrata porta a scrivere:

con “a” velocità sonica locale. Se la particolare particella fluida viene arrestata dalla sua condizione dinamica in modo isoentropico si può scrivere:

con a₀ velocità del suono di ristagno. Sfruttando la relazione di Laplace a²=gRT si può quindi scrivere (in seguito a qualche piccolo passaggio algebrico omesso):

(1)

con:

numero di Mach. Dalla (1), sfruttando la relazione

si arriva all’importante relazione:

(2)

la corrispondente relazione della (2) in regime incomprimibile è:

(è scontato dire che nell’ipotesi di flusso irrotazionale il teorema di Bernoulli vale in senso forte cioè fra una qualsiasi coppia di punti del campo di moto, invece, nell’ipotesi di fluido non viscoso in moto rotazionale, il teorema di Bernoulli vale in senso debole cioè fra una coppia di punti appartenenti ad una medesima linea di corrente.)

Comprimibilità vs. Incomprimibilità

L’idea è quella stimare l’errore che si commette nel calcolo della pressione del fluido considerando il fluido incomprimibile piuttosto che comprimibile a partire dai binomi bernoulliani. L’andamento della pressione è stimato, lecitamente, in condizioni irrotazionali in quanto nei flussi in cui esiste lo strato limite (e lo strato limite non è separato) la distribuzione di pressione alla parete è determinata dal moto a potenziale esterno allo strato limite. Da (2) si deduce che:

da cui:

dalla quale:

(3)

il termine fra parentesi graffe stima quantitativamente l’errore che si commette nel considerare il fluido incomprimibile piuttosto che comprimibile (in altre parole lo si potrebbe definire come lo scostamento dal “comportamento incomprimibile” del fluido).

Se il fattore, dipendente dal numero di Mach, induce un errore inferiore al 5% allora l’approssimazione di fluido incomprimibile è del tutto lecita. Il lavoro che bisogna fare, in definitiva, consiste nello stimare l’intervallo di numero di Mach che produce errori accettabili nel trascurare la comprimibilità del fluido.

Essendo g=1,4 allora (g-1)/2<1, nell’ipotesi di M<1 (moto subsonico) è possibile fare uso del seguente sviluppo in serie binomiale:

trascurando i termini di ordine superiore al terzo ordine si ha:

con:

ricordando che:

Facendo le opportune sostituzioni si arriva a scrivere che:

la quale si può essere ridotta a (con passaggi algebrici banalissimi):

tornando a (3) si ottiene:

quindi:

In definitiva se vale la disuguaglianza:

(4)

l’approssimazione di fluido incomprimibile è sensata. Dalla soluzione di (4) si riesce, quindi, ad individuare il range utile di numeri di Mach in cui è lecito considerare trascurabile la comprimibilità del fluido in esame. Se si riordina (4) si ottiene:

(5)

il trinomio al primo membro è chiaramente di secondo grado in M² e presenta le seguenti radici:

la soluzione di (5) per g=1,4 è M²<0,117 cioè M<0,342. Il risultato raggiunto significa che numeri di Mach inferiori a 0,342 l’errore che si commette nel trascurare la comprimibilità del fluido in esame è in inferiore al 5% (che dal punto di vista ingegneristico è del tutto accettabile). Convenzionalmente la soglia che determina il regime di moto incomprimibile è individuato da numeri di Mach inferiori a 0.3.

Bibbliografia

[1]	J.H. Ferzinger, M. Peric. Computational Methods for Fluid Dynamics, 3rd, rev. ed. Springer, Berlin, Heidelberg, New York, Barcelona, Hong Kong, London, Milan, Paris, Tokyo, 2002
[2]	E. Mattioli. Aerodinamica. Levrotto & Bella, Torino, 1992